Analyse : A. Rougirel

Algèbre : F. Bosio

Analyse à une variable réelle
a) Nombres réels ou complexes.
Suites convergentes. Toute partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure. Toute suite croissante majorée est convergente.
Comportement asymptotique d'une suite.
Relations de comparaison : domination, prépondérance (u est négligeable devant v), équivalence.
Notations u = O(v) et u =o(v).
b) Séries de nombres réels ou complexes.
Séries à termes positifs. Étude de la convergence par les relations de
comparaison, comparaison à une série géométrique. Convergence absolue.
Convergence d'une série alternée dont le terme général décroît vers 0 en valeur absolue, signe et majoration du reste. Exemples d'emploi de la transformation d'Abel.

 Analyse fonctionnelle et vocabulaire de la topologie
a) Topologie et espaces métriques.
Distance, boules ouvertes et fermées. Parties ouvertes et fermées.
Voisinages. Intérieur, adhérence et frontière d'une partie. Distance à une partie, diamètre d'une partie. Parties denses, points isolés, points d'accumulation. Produits finis d'espaces métriques.
Suites, limite. Caractérisation de l'adhérence par les suites.
Continuité d’une application en un point, caractérisation par les suites. Continuité sur l’espace entier, caractérisation par les images réciproques des ouverts et fermés.
Homéomorphismes. Applications uniformément continues.

Arithmétique.
Division euclidienne dans N et Z. Décomposition en facteurs premiers, pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide. Identité de Bézout, lemme de Gauss. Congruences, Z/nZ, théorème chinois.
Loi de composition interne.
Commutativité, associativité, élément neutre, symétrique. Groupes, sous-groupes, groupes engendrés par une partie, groupe monogène. Centre d'un groupe. Homomorphisme, conjugaison, automorphisme intérieur, sous-groupe distingué. Classes modulo un sous-groupe, théorème de Lagrange.
Anneaux.
Définition, anneau commutatif, intègre, diviseur de zéro, élément inversible, corps. Sous-anneau, homomorphisme, idéal. Anneau Z et caractéristique d'un anneau. Anneaux factoriels, principaux, euclidiens.
Polynômes.
Définition, degré, valuation. Fonctions polynomiales, racines(définition), composition, dérivation. Anneau euclidien K[X], pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide. Polynômes à plusieurs indéterminées.

F. Bosio

12/09/07

Polynômes : Racines. Polynômes scindés. Multiplicité. Formule de Taylor.
Relations coefficients-racines.
Fractions rationnelles : Définition. Structure de corps. Zéros et pôles.
Décomposition en éléments simples.

19/09/07

Actions de groupe. Orbites. Stabilisateurs. Formule des classes. Groupe symétrique. Orbites. Décomposition en cycles. Signature. Groupe alterné.

A. Rougirel

05/11/07
06/11/07

-Intégration d'une fonction continue par morceaux sur un segment.
-Intégrales sur un segment d'une fonction dépendant d'un paramètre. Théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe somme.
-Intégration sur un intervalle quelconque
Intégrale d'une fonction positive.
Théorème de convergence monotone.
Théorème de convergence dominé.
-Intégrales impropres.
Intégrales convergentes, divergentes ; critère de Cauchy. Convergence absolue.
-Intégrales sur un intervalle quelconque d'une fonction dépendant d'un paramètre.
Théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe somme.
Exemples de fonctions définies par une intégrale.

14/11/07

Valeurs approches d'une intégrale : méthode du point milieu, des trapèzes, de Simpson. Estimation de l'erreur.

21/11/07

Espaces préhilbertiens :
-Produit scalaire. Inégalités de Cauchy-Schwarz. Norme associée. Théorème de Pythagore. Familles orthonormales. Procédé de Schmidt. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; distance à un tel sous-espace.
-Exemples de produits scalaires ; exemples de suites de polynômes orthogonaux.

28/11/07

Séries de Fourier :
-Polynômes trigonométriques, orthogonalité des fonctions e^inx.
-Coefficients de Fourier d’une fonction 2π-périodique et continue par morceaux.
-Meilleure approximation en moyenne quadratique.
-Identité de Parseval et convergence en moyenne quadratique si f est continue par morceaux.
-Théorèmes de convergence de Dirichlet et Féjer.

05/12/07

Équations différentielles
-Systèmes linéaires X' = A(t)X +B(t), où A (resp. B) est une application continue.
-Théorème (admis) d’existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
-Dimension de l’espace vectoriel des solutions. Méthode de la variation des constantes.
-Systèmes à coefficients constants : exponentielle d’un endomorphisme, application au problème de Cauchy.
-Résolution du système X' = AX par diagonalisation

12/12/07

Notions sur les équations scalaires non linéaires.
Théorème de Cauchy-Lipschitz.
Exemples d'études qualitatives.

19/12/07

Problèmes des deux corps (Mouvement des planètes).
Exercices sur les équations différentielles.

09/01/08

Géométrie différentielle
-Courbes paramétrées en dimension 2 et 3.
-Étude locale d’une courbe paramétrée du plan. Arcs géométriques.
-Tangente.
-Forme d’un arc au voisinage d’un point régulier ou singulier.
-Courbe en coordonnées polaires.

16/01/08

-Étude locale d’une courbe paramétrée de l’espace. Plan osculateur.
-Propriétés métriques des courbes
-Longueur d’un arc paramétré de classe C¹.
-Abscisse curviligne.
-En dimension 2, repère de Frenet. Courbure.

A. Szpirglas

17/10/07

Déterminants.
-forme multilinéaire alternée.
-déterminant de n vecteurs dans en ev de dimension n – propriétés.
-déterminant d'une matrice.
-déterminant d'un endomorphisme.
-calculs de déterminants.
-applications : rang d'une matrice, système d'équations linéaires, système de Cramer
Exercices.

24/10/07

Réduction d'endomorphismes et de matrices.
-valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres
-polynôme d'endomorphisme, polynôme caractéristique, polynôme minimal
-triangulation
-diagonalisation
Exercices

05/11/07
06/11/07
07/11/07

Probabilités.
-expériences aléatoires, évènements, espace probabilisable, probabilité.
-espaces probabilisés discrets.
-variables aléatoires, variables aléatoires discrètes, loi de probabilité.
-exemples : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi hypergéométrique.
-évènements indépendants.
-probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
-vecteurs aléatoires, variables aléatoires indépendantes.
-lois de probabilité des vecteurs aléatoires discrets.
-couples de variables aléatoires : loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle.
-somme de deux variables aléatoires discrètes.
-fonctions génératrices, application à la somme de 2 va indépendantes.
-espérance et variance des va discrètes.
Exercices.
Réduction des endomorphismes.
-vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres.
-polynômes d'endomorphismes, polynôme caractéristique, polynôme minimal, matrice compagnon.
-théorème de décomposition des noyaux.
-triangulation, diagonalisation des endomorphismes, des matrices.
-sous-espaces stables, sous-espaces caractéristiques.
-triangulation et diagonalisation simultanées.
-décomposition de Dunford.
Exercices.
Quelques applications de la réduction des endomorphismes à l'analyse.
-suites récurrentes.
-parties denses de L(E).

14/11/07

Quelques applications de la réduction des endomorphismes à l'analyse (fin).
-exponentielle d'endomorphismes, de matrices.
Formes bilinéaires.
-définition, noyau, rang, forme non dégénérée, représentation matricielle, effet d'un changement de bases.
-orthogonalité, propriétés, cas des formes non dégénérées, vecteurs isotropes, sous-espaces isotropes.
-bases orthogonales, orthonormales.

21/11/07

Probabilités.
-Inégalité de Tchebytchev dans le cas discret.
-vecteurs aléatoires discrets, covariance, coefficient de corrélation.
-variables aléatoires à densité, espérance, variance.
-loi uniforme sur un intervalle, loi de Laplace Gauss, loi exponentielle, loi de Cauchy.
Exercices.

28/11/07

Formes quadratiques.
-définition, forme polaire associée, réduction de Gauss, réduction de Schmidt (rappel), classification sur C, sur R, inégalité de Cauchy Schwartz.
Espaces euclidiens.
-norme euclidienne, propriétés (médiane, Pythagore).
-endomorphisme adjoint, endomorphismes symétriques.
-orthogonalisation simultanée.
Exercices

05/12/07

Espaces euclidiens.
-groupe orthogonale, groupe spécial orthogonal
-classification et description des isométries vectorielles, en dimension 2, 3, et n
-angles orientés de vecteurs, de demi-droites, mesure, angle géométrique de droites, bissectrices
-similitudes vectorielles
-projection orthogonale, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel
-produit mixte, produit vectoriel
Exercices

12/12/07

Espaces affines.
-définition, dimension
-sous-espaces affines, intersection de sous-espaces affines, sous-espaces affines parallèles, supplémentaires
-barycentres, propriétés, caractérisation d'un sous-espace affine engendré par une partie, coordonnées barycentriques.
-application affine, partie linéaire d'une application affine, caractérisation barycentrique, formes affines et hyperplans affines, isomorphismes affines, groupe affine, sous-groupe affine des isomorphismes affines fixant un point
-points fixes des applications affines
Exemples (symétries projections, affinités) et exercices

19/12/07

Espaces affines euclidiens.
-définition, orthogonalité
-isométries affines, propriétés, décomposition en produit de symétries orthogonales.
-déplacements, antidéplacements.
-décomposition canonique d'une isométrie affine.
-classification des isométries affines en dimension 1, 2 et 3.
-isométries laissant globalement invariante une figure : application aux polygones réguliers (groupe diédral), aux polyèdres réguliers.
-similitudes affines.
Exercices

09/01/08

Coniques et quadriques.
-introduction au plan projectif,points et droite de l'infini
-application à la classification des coniques et des quadriques
Probabilités.
-vecteurs aléatoires à densité
-couples aléatoires à densité : densités marginales
-couples de vecteurs indépendants, densités marginales dans ce cas, densité de la somme.

16/01/08

Probabilités.
-divers types de convergence (simple, presque sûre, en probabilité, en loi)
-loi faible des grands nombres
-loi forte des grands nombres
-théorème central limite
-approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, par la loi normale.
Exercices.

P. Vanhaecke

26/09/07

Définition d'espace vectoriels, sous-espaces ; espace produit ; sous-espace engendré par une partie somme de sous-espaces ; sous-espaces en somme directe, sous-espaces supplémentaires ; familles libres, génératrices, bases.
Exemples et exercices

03/10/07

Définition d'applications linéaires, endomorphismes, formes linéaires ; les espaces vectoriels L(E,F), L(E) et E* ; l'image et le noyau sont des sous-espaces, l'isomorphisme entre l'image et tout supplémentaire du noyau
L'algèbre L(E) et le groupe linéaire GL(E).
Espaces vectoriels de dimension finie, dimension infinie ; définition, théorème de la base incomplète, théorème de la dimension
Exemples et exercices

10/10/07

Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, formule du rang.
Dimension d'une somme de sous-espaces, existence de supplémentaires, caractérisation des automorphismes.
Matrices, définitions de base, structure d'espace vectoriel, produit de matrices, structure d'algèbre des matrices carrées. Matrice d'une application linéaire, changement de bases, matrices équivalentes, semblables. Trace d'une matrice, d'un endomorphisme.

JP. Vigué

12/09/07

Espaces compacts
- Définition par la propriété de Bolzano-Weierstrass.
- Les compacts sont fermés. Fermés dans un compact. Compacts de R.
Fonctions continues sur les compacts
- Image directe d'un compact par une application continue.
- Applications.
- Théorème de Heine.
Quelques exercices sur les compacts.

19/09/07

Fin des espaces compacts
- Produits finis d'espaces métriques compacts
Espaces vectoriels normés
  - Définition d'une norme, exemples, distance induite.
 - Applications linéaires continues. Norme d'une application linéaire continue.
  - Normes équivalentes. Un exemple de normes non équivalentes.
Exercices sur les espaces métriques compacts.

26/09/07

Fin des espaces vectoriels normés :
- Espaces vectoriels normés de dimension finie : toutes les normes sont équivalentes, théorème de Riesz
Espaces métriques complets :
- Définition, premières propriétés.
 - Relations entre espaces métriques complets et espaces métriques compacts
 - Points fixes d'applications contractantes.
 - Prolongement des applications uniformément continues.
Exercices sur les espaces vectoriels normés

03/10/07

Début des espaces de Banach :
- Définition et quelques exemples
- Espace de Banach des applications linéaires continues d'un espace vectoriel normé dans un espace de Banach
- Suites d'applications à valeurs dans un espace de Banach : convergence simple, uniforme
- Continuité, dérivabilité de la limite
Exercices sur les espaces vectoriels normés et les applications linéaires continues.

10/10/07

Fin des espaces de Banach :
- Séries d'applications à valeurs dans un espace de Banach ; convergence normale  
- Utilisation de la transformation d'Abel.  
- Définition de exp(f), où f est dans L(E,E).
Début des espaces métriques connexes :
- Définition, adhérence d'un connexe, union de connexes, composantes connexes.
- Connexes de R.
- Image directe d'un connexe, théorème des valeurs intermédiaires.
- Espaces connexes par arc.
Exercices sur les espaces de Banach

17/10/07

Fin des espaces connexes
- Équivalence de la connexité et de la connexité par arcs pour les ouverts d'un espace vectoriel normé.
- Exemple de raisonnement par connexité.
Début des séries entières
- Définition, rayon de convergence, calcul du rayon de convergence.
- Propriétés de la somme : continuité, dérivabilité dans le cas réel, puis dans le cas complexe.
Exercice sur les suites et séries de fonctions

24/10/07

Fin des séries entières :
- Somme et produit de séries entières.
- Application des séries entières à la résolution d'équations différentielles (sur un exemple).
- Exponentielle complexe. Propriétés, définition du nombre pi.
Exercices sur les espaces connexes et les séries entières