Analyse : M. Rais

Algèbre : F.  Geoffriau :

Corps totalement ordonnés. Propriétés caractéristiques de l'ensemble des nombres >0. Le principe de trichotomie. Un corps totalement ordonné est de caractéristique zéro. C n'est pas totalement ordonné.

La fonction valeur absolue.

Suites convergentes et suites de Cauchy. Une suite convergente est une suite de Cauchy.

Majorants et minorants. Bornes supérieures et inférieures.

Le principe de continuité de Dedekind est équivalent à l'axiome de la borne supérieure.
Les conséquences de cet axiome. la propriété archimédienne. Convergences des suites croissantes majorées. Suites adjacentes. Une suite de Cauchy est convergente.
Ensembles équipotents. Ensembles finis. Ensembles dénombrables. N² est dénombrable, de meme que Q. R n'est pas dénombrable.
Q et R \ Q sont denses dans R.
Approximations décimales. La fonction partie entière E. Tout réel x et la limite de la suite E(x.10ⁿ)/10ⁿ=E(x)+(x₁)/10+...+(x_n)10ⁿ, où les x_k sont des chiffres en base 10. Explication de x=E(x),x₀x₁....x_n ....
Suites extraites. Une suite extraite d'une suite convergente est convergente et a meme limite que la suite mère. De toute suite de réels on peut extraire une suite monotone. Le théorème de Bolzano-Weierstrass.          
Suites numériques. Séries arithmétiques et géométriques. Espace vectoriel des séries convergentes.Reste d'ordre n. Critère de Cauchy. Séries alternées.Transformation d'Abel.Séries absolument convergentes, séries semi-convergentes.
Séries à termes réels positifs. Lemme de comparaison. Applications. Règle de d'Alembert.

Anneau Z des entiers relatifs. Division euclidienne. Sous-groupes additifs de Z. Nombre premiers. Théorème de Bezout. Algorithme d'Euclide. Congruences.

Applications arithmétiques des anneaux quotients Z/nZ. Théorème chinois. Groupe des éléments inversibles de Z/nZ. Groupe multiplicatif des nombre complexe de module 1. Sous-groupe des racine n-ièmes de l'unité. Polygônes réguliers.

Groupes. Groupe cycliques, ordre d'un élément. Théorème de Lagrange.

Polynômes à une indéterminée, division euclidienne, algorithme d'Euclide, anneau principal K[X] ( K=R ou K=C), formule de Taylor, racines multiples, décomposition en produits de polynômes irréductibles dans K[X] ( K=R ou K=C), arithmétique dans K[X] (( K=R ou K=C)( pgcd, ppcm, Bezout...), fonctions polynômes et polynômes dans K[X] ( K=R ou K=C,  ou K= un anneau commutatif ou K=un corps fini à p éléments( p premier) ).

Analyse : M. Rais 

Algèbre : F.  Geoffriau : 

N, les principes du bon ordre et de récurrence. 
R, l'axiome de la borne supérieure, la propriété archimédienne, la fonction partie entière. 
Ensembles équipotents. Ensembles dénombrables (Z, NxN, Q). R n'est pas dénombrable. Suites adjacentes. Nombres irrationnels (racine(p), e= lim(1+1/1!+ ...+1/n!). Approximation de \pi par les périmètres des polygones réguliers inscrits et exinscrits dans le cercle unité. Les développements décimaux (séries convergentes de nombres réels, la série géométrique). Cas des nombres décimaux. Les nombres rationnels. Un nombre de Liouville. 
Espaces métriques (R, C, Rⁿ avec la distance euclidienne). Suites convergentes, suites de Cauchy, suites bornées. Sous-suites, valeurs d'adhérence. Espaces métriques compacts, espaces métriques complets. Théorème de Bolzano-Weierstrass (toute suite bornée de nombres réels admet au moins une valeur d'adhérence). Une suite de Cauchy d'un espace métrique qui admet une valeur d'adhérence est convergente. R et C sont complets. Les parties compactes de R. 
Boules, ouverts et fermés d'un espace métrique. les ouverts de R sont les réunions au plus dénombrables d'intervalles ouverts. 
La droite numérique achevée \bar R. les boules de centre +infini. R est un ouvert dense de \bar R.. \bar R. est compact. 
Limites sup et inf des suites bornées de nombres réels. Une suite bornée de nombres réels qui admet une et une seule valeur d'adhérence est convergente.

 Arithmétique. Voir les énoncés des exercices, avec solutions ou indications vers les solutions, aux adresses suivantes (page de la préparation à l'agrégation interne de mathématiques à l'université de La Rochelle) : 

  énoncés (78 ko), indications (58 ko), solutions (118 ko) 

Analyse : A. Rougirel

Algèbre : A. Szpirglas: 

  Analyse à une variable réelle 
a) Nombres réels ou complexes 
Suites convergentes. Toute partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure. Toute suite croissante majorée est convergente. 
Comportement asymptotique d'une suite. Relations de comparaison: domination, prépon- 
dérance (u est négligeable devant v), équivalence. Notations u = O(v) et u =o(v). 

b) Séries de nombres réels ou complexes 
Séries à termes positifs. Étude de la convergence par les relations de comparaison, comparaison à une série géométrique. Convergence absolue. Convergence d'une série alternée dont le terme général décroît vers 0 en valeur absolue, signe et majoration du reste. Exemples d'emploi de la transformation d'Abel. 

 Analyse fonctionnelle et vocabulaire de la topologie 
a) Topologie et espaces métriques 
Distance, boules ouvertes et fermées. Parties ouvertes et fermées. Voisinages. Intérieur, 
adhérence et frontière d'une partie. Distance à une partie, diamètre d'une partie. Parties denses, points isolés, points d'accumulation. Produits finis d'espaces métriques. 
Suites, limites, valeurs d'adhérence, sous suites. Caractérisation de l'adhérence par les suites. 
Continuité d'une application en un point, caractérisation par les suites. Continuité sur l'espace entier, caractérisation par les images réciproques des ouverts et fermés. Homéomorphismes.

Arithmétique : division euclidienne - divisibilité - nombres premiers - décomposition en facteurs premiers - pgcd, ppcm - algorithme d'Euclide - nombres premiers entre eux - identité de Bézout - congurences - théorème chinois - étude de Z/nZ (inversibles, indicatrice d'Euler, ...). Exercices.

Lois de composition interne : propriétés - groupe - sous-groupe - sous-groupe engendré par une partie - groupe monoogène, cyclique - ordre d'un groupe, d'un élément .
Anneaux et corps : premières définitions - idéal - idéal principal, anneau principal - irréductibilité - caractéristique. 
Exercices.

Groupes : relation à droite, à gauche - sous-groupe distingué - groupe quotient - théorème de Lagrange - homomorphisme - noyau et image - décomposition canonique d'un homomorphisme. 

Polynômes à une indéterminée : premières définitons - racines - division euclidienne - K[X] est un anneau principal - polynômes irréductibles - critère d'Einsenstein (à finir)

F. Bosio

08 septembre 2004

Polynômes. Critère d'Eisenstein. Multiplicité des racines. Polynômes scindés. Dérivation des polynômes. Formule de Taylor. Relation entre les racines et les coefficients d'un polynome scindé.

Fractions rationnelles. Fractions irreductibles. Structures de corps et d'algèbre. Zéros, pôles, fonctions rationnelles, dérivation des fractions rationnelles, décomposition en éléments simples.

15 septembre 2004

Groupes opérant sur un ensemble. Orbites. Formule des classes. Classes de conjugaison. Groupe symétrique. Décomposition en cycles. Génération par transpositions. Signature. Groupe alterne.

Espaces vectoriels : Définition.

22 septembre 2004

Espaces vectoriels. Applications lineaires. Sous-espaces. Sommes de
sous-espaces. Projecteurs et symetries. Familles libres et generatrices.
Dimension.

29 septembre 2004

Espaces vectoriels de dimension finie : rangs.
Matrices : Definitions.Produits. Matrices d'applications lineaires.
Changement de bases. Matrices equivalentes. Matricesd'endomorphismes. Matrices semblables. Trace.

06 octobre 2004

Dualité dans les espaces vectoriels : Dual. Bidual. Orthogonal d'un sous-espace. Transposée d'une application lineaire.
Déterminant : Formes n-linéaires alternées. Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice. Calcul de déterminants.

C. Laurent

13 octobre 2004

Système de n équations linéaires à p inconnues(sur un corps commutatif).
Méthode de Gauss, interprétation matricielle de cette méthode et estimation du temps decalcul via le nombre d'opérations.
Systèmes de Cramer. Théorie de la co-matrice et solutions via les déterminants.

20 octobre 2004

Calcul du déterminant, mineurs principaux, décomposition LU, + Gauss-Jordan.
Introduction aux espaces affines. Barycentre. Définition et premières propriétés.
      

08 décembre 2004

 Algèbres de Boole, tribus, boréliens, espace probabilisable, probabilité, espace probabilisé.
  Loi binomiale, loi hypergéométrique.
  Exemples. Application au problème des chapeaux.

15 décembre 2004

1) Notion d'independance. Application en arithmétique à la fonction d'Euler.
  2) Probabilité conditionnelle. Formules des probabilités totales et de Bayes. Applications.
  3) Variable aléatoire discrète, espérance, variance. Indépendance des Variables aléatoires discrètes.

05 janvier 2005

Somme de v.a. discrètes. Produit de convolution
de v.a. discrètes.
V.a. à densités. Produit de convolution.
Exemples.
Inégalités de Tchebychev, Markov etc... Loi faible des grands nombres.
Convergence en loi. Loi des grands nombres.

12 janvier 2005

Espaces pré-Hilbertiens.
Séries de Fourier. Enoncé du théorème de Jordan et démonstration de la convergence simple à l'aide du noyau de Dirichlet.

19 janvier 2005

1) Deux exemples d'applications des séries de Fourier : calcul de la somme des inverses des carrés d'entiers
et résolution de l'équation de la chaleur dans un cas simplifié.
2) Convergence de Fejer et applications à la convergence L².

A. Rougirel

24 novembre 2004

Equation différentielles.
Systèmes linéaires d'ordre un.
Equation linéaires scalaires du second ordre.

01 décembre 2004

Notions sur les équations scalaires nonlinéaires.
Théorème de Cauchy-Lipschitz.
Exemples d'études qualitatives.

26 janvier 2005

Courbes paramétrées en dimension 2 et 3.

A. Szpirglas 

26 octobre 2004

Vecteurs propres, valeurs propres, polynôme carctéristique, polynôme minimal d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
Théorème de décomposition des noyaux. Racines du polynôme minimal. 
Triangulation des endomorphismes, triangulation des endomorphismes lorsque le polynôme caractériqtique est scindé. Triangulation des endomorphismes sur C. 
Diagonalisation des endomorphismes. 
Exercices.

27 octobre 2004

Triangulation et diagonalisation simultanées d'endomorphismes commutant.
Sous espaces stables. Sous-espaces caractéristiques.
Décomposition de Dunford.
Exercices.

17 novembre 2004

Formes bilinéaires et formes quadratiques : définitions, forme billinéaire non dégénérée, forme bilinéaire définie, forme billinéaire positive (négative).
Orthogonalité, bases orthogonales, existence de bases orthogonales (sur R ou C). Représentation matricielle. vecteurs isotropes, sous-espaces isotropes.
Matrices congruentes. Début de la classification des formes quadratiques.
Exercices

Espaces affines : définition, translations, sous-espaces affines, repères affines, orientation, retour sur les barycentres.
Applications affines : définition, partie linéaire, caractérisation barycentrique, isomorphisme affine, groupe affine.
Exercices.

24 novembre 2004

Formes quadratiques réelles : orthogonalisation de Gauss, signature. Exercices.

Espaces vectoriels euclidiens : défintion, norme euclidienne, existence de bases orthonormales, orthonormalisation de Schmidt, adjoint d'un endomorphisme, existence, propriétés, automorphisme symétrique, propriétés, diagonalisation d'un automorphisme symétrique dans une base orthonormale.

01 décembre 2004

Espaces affines : hyperplans affines comme image réciproque de 0 par une forme affine, équationes d'un hyperplan affine,
intersection d'hyperplans affines.
Projections et symétries affines.
Convexité, envelppe convexe.
Exercices

Espaces vectoriels euclidiens : diagonalisation dans une base orthormée d'une forme quadratique.
Isométries vectorielles.
Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal, classification des isométries vectorielles.
Exercices

08 décembre 2004

Espaces euclidiens :
-angles orientés de vecteurs dans le plan euclidien, mesure des angles orientés.
-angle orienté de demi droites, angle géométrique de droites, bissectrices. Exercices
-angle d'une rotation en dimension 3 dont l'axe est orienté.
-similitudes.
Espaces affines euclidiens :
-distance euclidienne, isométries (début).

15 décembre 2004

Espaces affines euclidiens : les isométries sont affines, décomposition canonique des isométries, classification des isométries affines en dimension 1, 2 et 3. Similitudes, définition. Les similitudes sont affines.
Espaces euclidiens, compléments : projections orthogonales, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel.
Produit mixte, produit vectoriel.
Application des formes quadratiques à l'étude des coniques et quadriques (debut) : petit aperçu de géométrie projective, début de la classification des coniques.

05 janvier 2005

Application des formes quadratiques à la classification des coniques (fin) et des quadriques.
Exercices
Début de résolution du devoir donné le 10 janvier 2004 (sur les cônes à faces).

12 janvier 2005

suite de la résolution du devoir donné le 10 janvier 2004 (sur les cônes à faces).

19 janvier 2005

Fin de la résolution du devoir donné le 10 janvier 2004 (sur les cônes à faces).
Calculs pratiques d'intégrales doubles et triples, application à des calculs de volumes.

26 janvier 2005

Exercices de probabilité.

JP. Vigué

08 septembre 2004

- Algèbre des fonctions numériques continues. 
- Fonctions uniformément continues, quelques exemples. 
- Espaces compacts : défintion par la propriété de Bolzano-Weierstrass. Les compacts sont fermés, fermés dans un compact. Compacts de R. Image directe d'un compact par une application continue.

15 septembre 2004

Suite des espaces métriques compacts : 
  - Théorème de Heine sur le fonctions continues sur un compact. Application à l'approximation des fonctions continues sur un segment par des fonctions en escaliers. 
  - Produit d'espaces métriques compacts. Compacts de Rⁿ. 
  - Exercices sur les compacts.

Début des espaces métriques connexes : 
 - Définition, adhérence d'un connexe, union de connexes, composantes connexes. 
  - Connexes de R.

22 septembre 2004

Fin des espaces métriques connexes
 - Image directe d'un connexe, théorème des valeurs intermédiaires.
 - Espaces connexes par arc.
 - Exemple de raisonnement par connexité.
 - Exercies.
Début des espaces vectoriels normés
 - Défintion d'une norme, exemples, distance induite.
 - Applications linéaires continues. Norme d'une
application linéaire continue.
 - Normes équivalentes.

29 septembre 2004

Fin des espaces vectoriels normés :
 - Un exemple de normes non équivalentes
 - Connexité des ouverts d'un evn, c'est équivalent à la connexité par arcs
 - Espaces vectoriels normés de dimension finie : Toutes les normes sont équivalentes, les applications linéaires sont continues,caractérisation par la compacité des boules fermées.
 - Exercices
Définition des espaces métriques complets

06 octobre 2004

Espaces métriques complets :
 - Propriétés fondamentales
 - Rapport entre complet et compact
 - Points fixes d'applications contractantes
 - Prolongement des applications uniformément continues
 - Exercices
Espaces de Banach :
 - Définition et quelques exemples

13 octobre 2004

Espaces de Banach :
 - Quelques exemples.
 - Suite d'applications à valeurs dans des Banach,convergence simple, convergence uniforme.
 - La limite uniforme d'une suite d'applications continues est continue.
 - Quelques exercices.
Début de l'intégration :
 - Fonctions en escalier, continue par morceaux.
 - Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux. Propriétés, inégalité de la moyenne,
inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski.

20 octobre 2004

Suite de l'intégration des fonctions continues par morceaux
sur un segment :
 - Primitives et intégrales
 - Quelques rappels sur les calculs de primitives
 - Convergence en moyenne et convergence quadratique
- Exercices sur la convergence simple et uniforme

25 octobre 2004

Intégration :
  - Intégrale sur un segment d'une fonction dépendant d'un paramètre, continuité, dérivabilité.
  - Intégrale impropre : convergence. Critère de Cauchy.
  - Intégrale d'une fonction positive : relations de comparaison.
  - Intégrales absolument convergentes.
  - Exercices.

26 octobre 2004 

Suite et fin de l'intégration :
  - Intégrales semi-convergentes. Théorème d'Abel.
  - Fonctions intégrables.
  -  Les 4 théorèmes admis : Théorème de convergence monotone, de convergence dominée. Théorème de continuité et de dérivabilité.
  - Exercices.

10 novembre 2004

Fin des espaces de Banach :
  - Théorème sur la dérivabilité de la limite d'une suite d'applications différentiables
  - Séries d'applications à valeurs dans un espace de Banach : convergence simple, uniforme, normale.
  - Utilisation de la transformation d'Abel.

Séries entières :
  - Définition, rayon de convergence, calcul du rayon.
  - Propriétés de la somme : continuité, dérivabilité dans le cas réel, puis dans le cas complexe (sans démonstration).
  - Somme et produit de séries entières.
  - Exponentielle complexe. Propriétés, définition du nombre pi.

- Exercices sur l'intégrale, les différents types de convergence, les séries entières.

Analyse : A. Rougirel

Algèbre : A. Szpirglas: 

  Analyse à une variable réelle
a) Nombres réels ou complexes.
Suites convergentes. Toute partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure. Toute suite croissante majorée est convergente.
Comportement asymptotique d'une suite.
Relations de comparaison : domination, prépondérance (u est négligeable devant v), équivalence.
Notations u = O(v) et u =o(v).

b) Séries de nombres réels ou complexes.
Séries à termes positifs. Étude de la convergence par les relations de
comparaison, comparaison à une série géométrique. Convergence absolue.
Convergence d'une série alternée dont le terme général décroît vers 0 en valeur absolue, signe et majoration du reste. Exemples d'emploi de la transformation d'Abel.

 Analyse fonctionnelle et vocabulaire de la topologie
a) Topologie et espaces métriques.
Distance, boules ouvertes et fermées. Parties ouvertes et fermées.
Voisinages. Intérieur, adhérence et frontière d'une partie. Distance à une partie, diamètre d'une partie. Parties denses, points isolés, points d'accumulation. Produits finis d'espaces métriques.
Suites, limite. Caractérisation de l'adhérence par les suites.

Arithmétique : division euclisienne dans N, nombres premiers, décompositions en facteurs premiers, pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide pour le calcul du pgcd de deux entiers, identité de Bézout, lemme de Gauss, congruences, étude de Z/nZ, théorème des restes chinois.
Exercices.

Lois de composition internes, groupes : associativité, commutativité, éléments neutres, éléments symétriques, éléments réguliers, groupe (définition), sous-groupe, sous-groupe engendré par une partie, groupe monogène, cyclique, ordre d'un groupe, d'un élément, centre, homomorphisme, imahe, noyau, classes à gauche, à droite, théorème de Lagrange, indice d'un sous-groupe, groupes distingués, groupes simples.
Exercices.

Anneaux : définition, anneau commutatif, intègre, diviseur de zéro, sous-anneau, homomorphisme, idéaux, idéaux de type fini, idéaux principaux, anneaux principaux, caractéristique (à revoir plus en détail), corps (définition).
Exemples.

Polynômes :  définition, anneaux des polynômes à une indéterminée sur un corps, division euclidienne, pgcd, ppcm de polynômes à une indéterminée, k[X] est principal. Quelques rappels sur les racines d'un polynôme.
Exercices.

F. Bosio

07 septembre 2005

Polynômes : Racines, décomposition en facteurs irréductibles, dérivation
Fractions rationnelles : Pôles et zéros, dérivation, décomposition en éléments simples.

14 septembre 2005

Actions de groupes : Définition. Exemples. Orbites. Stabilisateurs. Formule des classes.
Groupe symétrique : Définition. Cycles. Signature.

21 septembre 2005

Espaces vectoriels : Définition. Applications linéaires. Sous-espaces. Sous-espaces supplémentaires. Projecteurs et symétries. Familles libres et génératrices.

28 septembre 2005

Espaces vectoriels : Dimension. Rang.
Matrices : Définition. Structure d'ev. Produit de matrices. Représentaion d'une application linéaire. Changement de bases. Rang. Matrices équivalentes.

05 octobre 2005

Matrices : Matrices semblables.
Dualité : Dual. Bidual. Transposée d'une application linéaire. Dualité.
Orthogonalité.
Déterminants : Définition, exemples de calcul.

C. Laurent

12 octobre 2005

Espaces probabilisables et probabilisés. Tirages avec et sans remises, lois binomiales et hypergéométriques.
Exemples et exercices (tirés du Lannuzel, Probabilités et Statistiques).

19 octobre 2005

Evènements indépendants.
Application à la formule d'Euler.
Probabilités conditionnelles.
Loi des probabilités totales et loi de Bayes. Exemples.
Variable aléatoire discrète.
Espérance.

09 novembre 2005

Espérance et variance de variables aléatoires discrètes.
Variables aléatoires indépendantes. Espérance d'un produit et variance de la somme de deux v.a.i.d..
Lois discrètes usuelles : Bernoulli, binomiales, Poisson etc...
V.a. à densité. Espérance et variance. Exemples usuels.

A. Rougirel

23 novembre 2005

Géométrie différentielle
-Courbes paramétrées en dimension 2 et 3.
-Étude locale d’une courbe paramétrée du plan. Changement birégulier de paramètre.
-Tangente.
-Forme d’un arc au voisinage d’un point régulier ou singulier.
-Courbe en coordonnées polaires.
-Étude locale d’une courbe paramétrée de l’espace. Plan osculateur.

30 novembre 2005

-Propriétés métriques des courbes
-Longueur d’un arc paramétré de classe C1.
-Abscisse curviligne.
-En dimension 2, repère de Frenet. Courbure, centre de courbure.

07 décembre 2005

-Exemples de problèmes de mécanique : mouvements des planètes : problème des deux corps.
Équations différentielles
-Systèmes linéaires X = A(t)X +B(t), où A (resp. B) est une application continue.
-Théorème (admis) d’existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
-Dimension de l’espace vectopriel des solutions. Méthode de la variation des constantes.
-Systèmes à coefficients constants : exponentielle d’un endomorphisme, application au problème de Cauchy.
-Résolution du système X = AX par diagonalisation

14 décembre 2005

Notions sur les équations scalaires nonlinéaires.
Théorème de Cauchy-Lipschitz.
Exemples d'études qualitatives.

04 janvier 2006

Espaces préhilbertiens
Produit scalaire. Inégalités de Cauchy-Schwarz. Norme associée. Théorème de Pythagore. Familles orthonormales. Procédé de Schmidt. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; distance à un tel sous-espace. Exemples de produits scalaires.

11 janvier 2006

Séries de Fourier :
-Polynômes trigonométriques, orthogonalité des fonctions e^inx.
-Coefficients de Fourier d’une fonction 2π-périodique et continue par morceaux.
-Meilleure approximation en moyenne quadratique.
-Identité de Parseval et convergence en moyenne quadratique si f est continue par morceaux.
-Théorèmes de convergence de Dirichlet et Féjer.

18 janvier 2006

Calcul différentiel
-Fonctions différentiables
-Dérivée selon un vecteur. Différentiabilité en un point. Interprétation géométrique (plan tangent à une surface). Matrices jacobiennes.
-Différentielle d’une fonction composée.
-Définition des fonctions de classe C¹ sur un ouvert .
-Théorème admis : pour que f soit de classe C¹ il faut et il suffit que les dérivées partielles soient continues.
-Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C¹.

A. Szpirglas 

26 octobre 2005

Réduction des endomorphismes :
- Vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres, polynôme caractéristique, polynôme minimal d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
- Théorème de décomposition des noyaux. Racines du polynôme minimal. 
- Endomorphismes triangulables, triangulation des endomorphismes lorsque le polynôme caractéristique est scindé. Triangulation des endomorphismes sur C. 
- Endomorphismes diagonalisables. Diagonalisation des endomorphismes, des matrices carrées.
- Etude des sous-espaces cycliques pour un endomorphisme nilpotent (sous forme d'exercice)
Exercices.

27 octobre 2005

Réduction des endomorphismes (suite) :
- Triangulation et diagonalisation simultanées d'endomorphismes commutant.2 à 2.
- Sous espaces stables. Sous-espaces caractéristiques.
- Décomposition de Dunford.
Exercices.

16 novembre 2005

Application de la réduction des endomorphismes à l'analyse :
-suites récurrentes
-parties dense de L(E) : GL(E) est un ouvert dense de L(E), l'ensemble des matrices diagonalisables sur C est dense dans M_n(C).
-exponentielles d'endomorphismes, de matrices.
-étude des systèmes différentiels linéaires du premier ordre (début)
Exercices.

23 novembre 2005

-fin de l'étude des systèmes différentiels linéaires du premier ordre. Exercices.
-formes bilinéaires : définition, forme bilinéaire symétrique, orthogonalité, représentation matricielle, rang, vecteurs isotropes, sous-espaces isotropes, sous-espaces totalement istropes. Bases orthogonales, bases orthonormales.
-formes quadratiques : définition, forme polaire, existence de base orthogonale en caractéristique différente de 2, orthogonalisation de Gauss, classification des formes quadratiques sur C, sur R, définition de la signature (à finir)
Exercices.

30 novembre 2005

-formes quadratiques réelles : signature, forme définie, forme positive, classification.
Espace euclidien :
-produit scalaire, orthonormalisation d'une base quelconque, propriétés du produit scalaire.
-adjoint d'un endomorphisme, endomorphisme symétrique, diagonalisation des endomorphismes symétriques.
-orthogonalisation d'une forme quadratique sur un espace euclidien.
-groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal, description dans le cas des dimensions 1, 2, 3 et dans le cas général.
Exercices.

14 décembre 2005

Espace euclidien :
-en dimension 2 : angle orienté d'un couple de vecteurs, oreintation, mesure des angles orientés, angle orienté de deux demi-droite vectoriel, angle géométrique de deux droites vectorielles ; étude de la dimension 3.
-similtudes vectorielles.
-produit mixte, produit vectoriel, produit vectoriel en dimension 3.
-projection orthogonale, distance de deux vecteurs, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel .
Exercices.

04 janvier 2006

Géométrie affine en dimension finie :
-premières défintions : translation, dimension.
-sous-espaces affines, sous-espace affine engendré par une partie, rang d'une famille de points, famille affinement libre.
-repère, orientation.
-barycentres.
-applications affines : défintion, caractérisation barycentrique, image et image réciproque de sous-espaces affines, équation cartésienne d'un hyperplan.
-isomorphismes affines, points fixes, décomposition, symétries affines, projections affines, affinités.
-convexité.

11 janvier 2006

Espaces affines euclidiens :
-distance euclidienne, orthogonalité, perpendicularité.
-isométries : défintion, déplacement, décompostion canonique, classification en dimension 1, 2 et 3.
-hyperplan médiateur
-isométries laissant globalement invariante une partie de l'espace : groupes des polyèdres réguliers
Exercices.

18 janvier 2006

Espaces affines euclidiens :
-similitudes
-introduction au plan projectif
-coniques et quadriques.
Exercices

25 janvier 2006

Retour sur les vecteurs aléatoires
-vecteurs aléatoires discrets, lois marginales, covariance, coefficient de corrélation, loi d'une somme de deux variables aléatoires discrètes indépendantes, espérance et variance d'une somme de variables aléatoires discrètes indépendantes
-vecteurs aléatoires « à densité », espérance de F(X), covaraince, coefficent de corrélation, espérance et variance d'une somme de variables aléatoires « à densité » indépendantes.
Exercices.
-théorèmes limites : inégalité de Bienaymé Tchebychev, convergence ps, en loi, en probabilité, dans L², loi forte des grands nombres, théorème central limite pour une suite de vv.a.r équidistribuées et de variance finie
-approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson et par la loi normale
Exercices

JP. Vigué

07 septembre 2005

-Applications continues en un point, caractérisation par les suites.
-Applications continues ; Caractérisation par les images réciproque d'ouverts ou de fermés.
-Homéomorphismes. Distances équivalentes.
-Algèbre des fonctions numériques continues.
-Fonctions uniformément continues, quelques exemples.
-Exercices sur les applications continues.

14 septembre 2005

-Espaces compacts : définition par la propriété de Bolzano-Weierstrass. Les compacts sont fermés. Fermés dans un compact. Compacts de R.
-Fonctions continues sur les compacts : Image directe d'un compact par une application continue. Théorème de Heine.
-Produits d'espaces métriques compacts. Les compacts de Rⁿ.
-Exercices sur les espaces compacts.

21 septembre 2005

Espaces métriques connexes
-Définition, parties connexes, union de connexes d'intersection non vide.
-Parties connexes de R.
-Image directe d'un connexe, théorème des valeurs intermédiaires.
-Espaces connexes par arc.
-Exemple de raisonnement par connexité.
-Début des espaces vectoriels normés
-Définition d'une norme, exemples, distance induite.
-Exercices sur les espaces compacts.

28 septembre 2005

Suite des espaces vectoriels normés
-Applications linéaires continues. Norme d'une application linéaire continue.
-Normes équivalentes. Un exemple de normes non équivalentes.
-Connexité des ouverts d'un evn, c'est équivalent à la connexité par arcs.
-Espaces vectoriels normés de dimension finie : toutes les normes sont équivalentes.
-Exercices sur les espaces connexes.

5 octobre 2005

Fin des espaces vectoriels normés :
- Espaces vectoriels normés de dimension finie : les applications linéaires sont continues, caractérisation des evn de dimension finie par la compacité des boules fermées.
- Espaces métriques complets :
 - Définition, propriétés fondamentales.
 - Rapport entre complet et compact.
 - Points fixes d'applications contractantes.
 - Prolongement des applications uniformément continues.
- Exercices sur les espaces vectoriels normés et les applications linéaires continues.

12 octobre 2005

Espaces de Banach :
 - Définition et quelques exemples.
 - Espace de Banach des applications linéaires continues d'un espace vectoriel normé dans un espace de Banach.
 - Suites d'applications à valeurs dans un espace de Banach : convergence simple, uniforme.
 - Continuité, dérivabilité de la limite.
 - Séries d'applications à valeurs dans un espace de Banach ; convergence normale.

19 octobre 2005

Fin des espaces de Banach :
- Utilisation de la transformation d'Abel.
- Défintion de exp(f), où f est dans L(E,E).
Séries entières :
 - Définition, rayon de convergence, calcul du rayon.
 - Propriétés de la somme : continuité.
Exercices sur les espaces de Banach.

24 octobre 2005

Intégration :
- Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.
- Propriétés de l'intégrale.
- Intégrale sur un segment d'une fonction dépendant d'un paramètre, continuité, dérivabilité.
- Primitives et intégrales. Calcul d'intégrales.
Exercices.

25 octobre 2005

Intégration (suite) :
- Intégrale impropre : convergence. Critère de Cauchy.
- Intégrale d'une fonction positive : relations de comparaison.
- Intégrales absolument convergentes.
- Intégrales semi-convergentes. Théorème d'Abel.
- Fonctions intégrables.
Exercices.
Les théorèmes de convergence pour les intégrales impropres (qui sont admis) n'ont pas été traités.

9 novembre 2005

Intégration (suite) :
- Fonctions intégrables : les 4 théorèmes admis (Théorème de convergence monotone, de convergence dominée. Théorème de continuité et de dérivabilité.)
- Exemples ; la fonction Gamma, la transformée de Fourier.
Exercices sur l'intégration.

16/11/05

Séries entières (fin) :
 - Propriétés de la somme : continuité, dérivabilité dans le cas réel, puis dans le cas complexe (sans démonstration).
 - Somme et produit de séries entières.
 - Exponentielle complexe. Propriétés, définition du nombre pi.
Exercices sur l'intégrale, les différents types de convergence, les séries entières.

Analyse : A. Rougirel

Algèbre : A. Szpirglas: 

Analyse à une variable réelle
a) Nombres réels ou complexes.
Suites convergentes. Toute partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure. Toute suite croissante majorée est convergente.
Comportement asymptotique d'une suite.
Relations de comparaison : domination, prépondérance (u est négligeable devant v), équivalence.
Notations u = O(v) et u =o(v).

b) Séries de nombres réels ou complexes.
Séries à termes positifs. Étude de la convergence par les relations de
comparaison, comparaison à une série géométrique. Convergence absolue.
Convergence d'une série alternée dont le terme général décroît vers 0 en valeur absolue, signe et majoration du reste. Exemples d'emploi de la transformation d'Abel.

 Analyse fonctionnelle et vocabulaire de la topologie
a) Topologie et espaces métriques.
Distance, boules ouvertes et fermées. Parties ouvertes et fermées.
Voisinages. Intérieur, adhérence et frontière d'une partie. Distance à une partie, diamètre d'une partie. Parties denses, points isolés, points d'accumulation. Produits finis d'espaces métriques.
Suites, limite. Caractérisation de l'adhérence par les suites.

Continuité d’une application en un point, caractérisation par les suites. Continuité sur l’espace entier, ca-
ractérisation par les images réciproques des ouverts et fermés. Homéomorphismes. Applications uniformément continues.

Arithmétique : division euclisienne dans N, nombres premiers, décompositions en facteurs premiers, pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide pour le calcul du pgcd de deux entiers, identité de Bézout, lemme de Gauss, congruences, étude de Z/nZ, théorème des restes chinois.
Exercices.

Lois de composition internes, groupes : associativité, commutativité, éléments neutres, éléments symétriques, éléments réguliers, groupe (définition), sous-groupe, sous-groupe engendré par une partie, groupe monogène, cyclique, ordre d'un groupe, d'un élément, centre, homomorphisme, image, noyau, classes à gauche, à droite, théorème de Lagrange, indice d'un sous-groupe, groupes distingués, groupes simples.
Exercices.

Anneaux : définition, anneau commutatif, intègre, diviseur de zéro, sous-anneau, homomorphisme, idéaux, idéaux de type fini (définition seulement), idéaux principaux (définition seulement), anneaux principaux, caractéristique (en exercice), corps (définition).
Exemples.

Polynômes :  définition, anneaux des polynômes à une indéterminée sur un corps, division euclidienne, pgcd, ppcm de polynômes à une indéterminée, k[X] est principal. Quelques rappels sur les racines d'un polynôme. Critère d'Eisenstein.
Exercices.

F. Bosio

06/09/06

Polynômes : Racines. Factorisation. Polynômes scindés. Multiplicité. Formule de Taylor. Relations coefficients-racines.
Fractions rationnelles : Définition. Structure de corps. Zéros et pôles. Décomposition en éléments simples.

13/09/06

Actions de groupe. Orbites. Stabilisateurs. Formule des classes. Groupe symétrique. Orbites. Décomposition en cycles. Signature. Groupe alterné.

20/09/06

Espaces vectoriels : Définition. Sous-espaces. Applications linéaires. Somme de sous-espaces. Projecteurs et symétries. Familles libres et génératrices. Dimension.

27/09/06

Espaces vectoriels : Dimension. Rang.
Dualité : Dual. Bidual. Hyperplan. Orthogonalité. Transposée
Matrices : Structure d'algèbre. Matrice d'une application lineaire. Rang.

A. Rougirel

06/12/06

Espaces préhilbertiens Produit scalaire. Inégalités de Cauchy-Schwarz. Norme associée. Théorème de Pythagore. Familles orthonormales. Procédé de Schmidt. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; distance à un tel sous-espace. Exemples de produits scalaires.

13/12/06

Séries de Fourier :
-Polynômes trigonométriques, orthogonalité des fonctions e^inx.
-Coefficients de Fourier d’une fonction 2π-périodique et continue par morceaux.
-Meilleure approximation en moyenne quadratique.
-Identité de Parseval et convergence en moyenne quadratique si f est continue par morceaux.
-Théorèmes de convergence de Dirichlet et Féjer.

20/12/06

Équations différentielles
-Systèmes linéaires X = A(t)X +B(t), où A (resp. B) est une application continue.
-Théorème (admis) d’existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
-Dimension de l’espace vectopriel des solutions. Méthode de la variation des constantes.
-Systèmes à coefficients constants : exponentielle d’un endomorphisme, application au problème de Cauchy.
-Résolution du système X = AX par diagonalisation

10/01/07

Notions sur les équations scalaires nonlinéaires.
Théorème de Cauchy-Lipschitz.
Exemples d'études qualitatives.

17/01/07

Géométrie différentielle
-Courbes paramétrées en dimension 2 et 3.
-Étude locale d’une courbe paramétrée du plan. Changement birégulier de paramètre.
-Tangente.
-Forme d’un arc au voisinage d’un point régulier ou singulier.
-Courbe en coordonnées polaires.
-Étude locale d’une courbe paramétrée de l’espace. Plan osculateur.

24/01/04

-Propriétés métriques des courbes
-Longueur d’un arc paramétré de classe C¹.
-Abscisse curviligne.
-En dimension 2, repère de Frenet. Courbure, centre de courbure.

A. Szpirglas 

04/10/06

Probabilités :
-expériences aléatoires, évènements, espace probabilisable, probabilité.
-espaces probabilisés discrets.
-variables aléatoires, variables aléatoires discrètes, loi de probabilité.
-exemples : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi hypergéométrique.
-évènements indépendants.

11/10/06

Probabilités :
-probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
-vecteurs aléatoires, variables aléatoires indépendantes.
-lois de probabilité des vecteurs améatoires discrets.
-couples de variables aléatoires : loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle.
-somme de deux variables aléatoires discrètes.
-fonctions génératrices, application à la somme de 2 va indépendantes.
-espérance et variance des va discrètes.
Exercices.

18/10/06

Probabilités :
-couples de variables aléatoires discrètes (fin) : covariance, coefficient de corrélation linéaire, cas es couples de variables aléatoires indépendantes.
-variables aléatoires absolument continues : densité, fonction de répartition, espérance et variance des va absomument continues, les lois classiques, inégalité de Bienaymé-Tchebitchev.
Exercices.

26/10/06

Réduction des endomorphismes :
-vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres.
-polynômes d'endomorphismes, polunôme caractéristique, polynôme minimal, matrice compagnon.
-théorème de décomposition des noyaux.
-triangulation, diagonalisation des endomorphismes, des matrices.
-sous-espaces stables, sous-espaces caractéristiques.
-triangulation et diagonalisation simultanées.
-décomposition de Dunford.
Exercices.

08/11/06

Probabilités :
-couples de variables aléatoires à densité, densités marginales, covariance, coefficient de corrélation linéaire.
-couples de variables aléatoires indépendantes, densité du couple et densités marginales, densité de la somme.
-les différents types de convergence (simple, presque sûre, en loi en probabilités, ...)
-loi faible des grands nombre, théorème de la limite centrale, loi forte des grands nombres.
-applications : approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, par la loi normale (théorème de Moivre-Laplace), de la loi hypergéométrique par la loi binomiale.
Exercices

15/11/06

Probabilités :
-Exercices sur les théorèmes de convergences.
Algèbre linéaire :
-Formes bilinéaires : définition, forme bilinéaire symétrique, orthogonalité, représentation matricielle rang.
Exercices

22/11/06

Formes bilinéaires, formes quadratiques :
-Exercices sur les formes bilinéaires.
-Formes bilinéaires : bases orthogonales, bases orthonormées.
-Formes quadratiques : définition, forme polaire, caractérisation des formes quadratiques.
Exercices
Quelques applications de la réduction des endomorphismes à l'analyse :
-suites récurrentes.
-parties denses de L(E).
-exponentielles d'endomorphismes, de matrices.

29/11/06

Formes quadratiques :
-orthogonalisation de Gauss des formes quadratiques.
-matrices congruentes
-classification des formes quadratiques sur C
-formes quadratiques sur R définies, positives, définies positives
-classification des forme quadratiques sur R
-signature d'une forme quadratique sur R
Exercices

06/12/06

Espaces euclidiens :
-produit scalaire, norme euclidienne, base orthonormée, orthonormalisation de Schmid.
-adjoint d'un endomorphisme, endomorphisme symétrique, diagonalisation d'un endomorphisme symétrique.
-orthogonalisation d'une forme quadratique sur une espace euclidien.
Exercices.

13/12/06

Espaces euclidiens :
-groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal.
-groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal en dimension 1, 2, classification.
-groupe orthogonal en dimension >2.
-groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal en dimension 3, classification.
Exercices.

20/12/06

Espaces euclidiens :
-orientation des espaces euclidiens.
-angles orientés, mesures des angles orientés angles de demi-droites, de droites vectorielles, bissectrices.
-similitudes.
-projections orthogonales, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel.
Exercices.

10/01/07

Espaces euclidiens :
-produit mixte.
-produit vectoriel
Espaces affines :
-définition, premières propriétés, dimension.
-sous-espaces affines, parallélisme, intersection de sous-espaces affines, sous-espace affine engendré par une partie, partie génératrice, famille affinement libre, base affine.
-repère, orientation d'un espace affine.
-barycentres, isobarycentre, coordonnées barycentriques.
-applications affines, caractérisation barycentrique, image d'un sàus-espace affine, hyperplans affines et applications affines, isomorphismes affines, groupe affine, sous-groupe des homothéties translations.
Exercices.

17/01/07

Espaces affines :
-points fixes des applications affines.
-décomposition d'une appliccation affine.
-exemples d'application affines : symétries, projections, affinités.
-Convexité.
Espaces affines euclidiens :
-définition, distance euclidienne
-orthogonalité, perpendicularité.
-isométries affines, décomposition d'une isométrie en produit de symétries orthogonales hyperplanes.
-déplacements, antidéplacements.
-décomposition canonique d'une isométrie.
-classification des isométries affines en dimension 1, 2 et 3.

24/01/07

Espaces affines euclidiens :
-isométries conservant une figure, groupe diédral, groupes des rotations d'un polyèdre régulier.
-similitudes.
-un peu de plan projectif, application à l'étude des coniques, des quadriques.
Exercices.

JP. Vigué

06/09/06

Espaces compacts :
-Définition par la propriété de Bolzano-Weierstrass.
-Les compacts sont fermés.
-Fermés dans un compact.
-Compacts de R.
Fonctions continues sur les compacts :
-Image directe d'un compact par une application continue.
-Applications.
-Théorème de Heine.

13/09/06

Suite et fin des espaces métriques compacts :
- Produit d'espaces métriques compacts. Compacts de Rⁿ.
- Exercices sur les compacts.
Espaces métriques connexes :
- Définition, adhérence d'un connexe, union de connexes, composantes connexes.
- Connexes de R.
- Image directe d'un connexe, théorème des valeurs intermédiaires.
- Espaces connexes par arc.
- Exemple de raisonnement par connexité.

20/09/06

Espaces vectoriels normés :
- Définition d'une norme, exemples, distance induite.
- Applications linéaires continues. Norme d'une application linéaire continue.
- Normes équivalentes. Un exemple de normes non équivalentes.
- Exercices sur les espaces métriques connexes.

27/09/06

Espaces vectoriels normés :
- Connexité des ouverts d'un evn, c'est équivalent à la connexité par arcs.
- Espaces vectoriels normés de dimension finie : Toutes les normes sont équivalentes, les applications linéaires sont continues, caractérisation des evn de dimension finie par la compacité des boules fermées.
Espaces métriques complets :
- Définition, propriétés fondamentales.
- Rapport entre complet et compact.
Exercices sur les espaces vectoriels normés et les applications linéaires continues.

04/10/06

Espaces métriques complets :
- Points fixes d'applications contractantes.
- Prolongement des applications uniformément continues.
Espaces de Banach :
- Définition et quelques exemples
- Espace de Banach des applications linéaires continues d'un espace vectoriel normé dans un espace de Banach
- Suites d'applications à valeurs dans un espace de Banach : convergence simple, uniforme.
Exercices sur les espaces vectoriels normés et les applications linéaires continues.

11/10/06

Espaces de Banach :
- Suites d'applications à valeurs dans un espace de Banach : convergence simple, uniforme
- Continuité, dérivabilité de la limite
- Séries d'applications à valeurs dans un espace de Banach ; convergence normale
- Utilisation de la transformation d'Abel.
- Définition de exp(f), où f est dans L(E,E).
Exercices sur les espaces de Banach.

18/10/06

Séries entières :
- Définition, rayon de convergence, calcul du rayon de convergence.
- Propriétés de la somme : continuité, dérivabilité dans le cas réel, puis dans le cas complexe.
- Somme et produit de séries entières.
- Application des séries entières à la résolution d'équations différentielles (sur un exemple).
Exercices sur les séries de fonctions.

08/11/06

Séries entières :
- Exponentielle complexe. Propriétés, définition du nombre pi.
Intégrales
- Définition de l'intégrale d'une fonction en escalier, puis d'une fonction continue par morceaux sur un segment.
- Propriétés de l'intégrale.
- Primitives et intégrales.
Exercices sur les séries entières

15/11/06

Intégration
- Primitives et intégrales. Calcul d'intégrales.
- Convergence en moyenne et en moyenne quadratique
- Intégrale sur un segment d'une fonction dépendant d'un paramètre, continuité, dérivabilité.
- Formule de Fubini.
- Intégrales impropres.
Exercices sur l'intégration.

22/11/06

Intégration
- Intégrale impropre : convergence. Critère de Cauchy.
- Intégrale d'une fonction positive : intégration des relations de comparaison.
- Intégrales absolument convergentes.
- Intégrales semi-convergentes. Théorème d'Abel.
- Fonctions intégrables, théorème de convergence monotone.
Exercices sur l'intégration

29/11/06

Intégration
- Fonctions intégrables : les 3 derniers théorèmes admis : Théorème de convergence de convergence dominée. Théorème de continuité et de dérivabilité.
- Exemples ; la fonction Gamma, la transformée de Fourier.
Exercices sur l'intégration.

Analyse : A. Rougirel

Algèbre : F. Bosio

Analyse à une variable réelle
a) Nombres réels ou complexes.
Suites convergentes. Toute partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure. Toute suite croissante majorée est convergente.
Comportement asymptotique d'une suite.
Relations de comparaison : domination, prépondérance (u est négligeable devant v), équivalence.
Notations u = O(v) et u =o(v).
b) Séries de nombres réels ou complexes.
Séries à termes positifs. Étude de la convergence par les relations de
comparaison, comparaison à une série géométrique. Convergence absolue.
Convergence d'une série alternée dont le terme général décroît vers 0 en valeur absolue, signe et majoration du reste. Exemples d'emploi de la transformation d'Abel.

 Analyse fonctionnelle et vocabulaire de la topologie
a) Topologie et espaces métriques.
Distance, boules ouvertes et fermées. Parties ouvertes et fermées.
Voisinages. Intérieur, adhérence et frontière d'une partie. Distance à une partie, diamètre d'une partie. Parties denses, points isolés, points d'accumulation. Produits finis d'espaces métriques.
Suites, limite. Caractérisation de l'adhérence par les suites.
Continuité d’une application en un point, caractérisation par les suites. Continuité sur l’espace entier, caractérisation par les images réciproques des ouverts et fermés.
Homéomorphismes. Applications uniformément continues.

Arithmétique.
Division euclidienne dans N et Z. Décomposition en facteurs premiers, pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide. Identité de Bézout, lemme de Gauss. Congruences, Z/nZ, théorème chinois.
Loi de composition interne.
Commutativité, associativité, élément neutre, symétrique. Groupes, sous-groupes, groupes engendrés par une partie, groupe monogène. Centre d'un groupe. Homomorphisme, conjugaison, automorphisme intérieur, sous-groupe distingué. Classes modulo un sous-groupe, théorème de Lagrange.
Anneaux.
Définition, anneau commutatif, intègre, diviseur de zéro, élément inversible, corps. Sous-anneau, homomorphisme, idéal. Anneau Z et caractéristique d'un anneau. Anneaux factoriels, principaux, euclidiens.
Polynômes.
Définition, degré, valuation. Fonctions polynomiales, racines(définition), composition, dérivation. Anneau euclidien K[X], pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide. Polynômes à plusieurs indéterminées.

F. Bosio

12/09/07

Polynômes : Racines. Polynômes scindés. Multiplicité. Formule de Taylor.
Relations coefficients-racines.
Fractions rationnelles : Définition. Structure de corps. Zéros et pôles.
Décomposition en éléments simples.

19/09/07

Actions de groupe. Orbites. Stabilisateurs. Formule des classes. Groupe symétrique. Orbites. Décomposition en cycles. Signature. Groupe alterné.

A. Rougirel

05/11/07
06/11/07

-Intégration d'une fonction continue par morceaux sur un segment.
-Intégrales sur un segment d'une fonction dépendant d'un paramètre. Théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe somme.
-Intégration sur un intervalle quelconque
Intégrale d'une fonction positive.
Théorème de convergence monotone.
Théorème de convergence dominé.
-Intégrales impropres.
Intégrales convergentes, divergentes ; critère de Cauchy. Convergence absolue.
-Intégrales sur un intervalle quelconque d'une fonction dépendant d'un paramètre.
Théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe somme.
Exemples de fonctions définies par une intégrale.

14/11/07

Valeurs approches d'une intégrale : méthode du point milieu, des trapèzes, de Simpson. Estimation de l'erreur.

21/11/07

Espaces préhilbertiens :
-Produit scalaire. Inégalités de Cauchy-Schwarz. Norme associée. Théorème de Pythagore. Familles orthonormales. Procédé de Schmidt. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; distance à un tel sous-espace.
-Exemples de produits scalaires ; exemples de suites de polynômes orthogonaux.

28/11/07

Séries de Fourier :
-Polynômes trigonométriques, orthogonalité des fonctions e^inx.
-Coefficients de Fourier d’une fonction 2π-périodique et continue par morceaux.
-Meilleure approximation en moyenne quadratique.
-Identité de Parseval et convergence en moyenne quadratique si f est continue par morceaux.
-Théorèmes de convergence de Dirichlet et Féjer.

05/12/07

Équations différentielles
-Systèmes linéaires X' = A(t)X +B(t), où A (resp. B) est une application continue.
-Théorème (admis) d’existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
-Dimension de l’espace vectoriel des solutions. Méthode de la variation des constantes.
-Systèmes à coefficients constants : exponentielle d’un endomorphisme, application au problème de Cauchy.
-Résolution du système X' = AX par diagonalisation

12/12/07

Notions sur les équations scalaires non linéaires.
Théorème de Cauchy-Lipschitz.
Exemples d'études qualitatives.

19/12/07

Problèmes des deux corps (Mouvement des planètes).
Exercices sur les équations différentielles.

09/01/08

Géométrie différentielle
-Courbes paramétrées en dimension 2 et 3.
-Étude locale d’une courbe paramétrée du plan. Arcs géométriques.
-Tangente.
-Forme d’un arc au voisinage d’un point régulier ou singulier.
-Courbe en coordonnées polaires.

16/01/08

-Étude locale d’une courbe paramétrée de l’espace. Plan osculateur.
-Propriétés métriques des courbes
-Longueur d’un arc paramétré de classe C¹.
-Abscisse curviligne.
-En dimension 2, repère de Frenet. Courbure.

A. Szpirglas

17/10/07

Déterminants.
-forme multilinéaire alternée.
-déterminant de n vecteurs dans en ev de dimension n – propriétés.
-déterminant d'une matrice.
-déterminant d'un endomorphisme.
-calculs de déterminants.
-applications : rang d'une matrice, système d'équations linéaires, système de Cramer
Exercices.

24/10/07

Réduction d'endomorphismes et de matrices.
-valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres
-polynôme d'endomorphisme, polynôme caractéristique, polynôme minimal
-triangulation
-diagonalisation
Exercices

05/11/07
06/11/07
07/11/07

Probabilités.
-expériences aléatoires, évènements, espace probabilisable, probabilité.
-espaces probabilisés discrets.
-variables aléatoires, variables aléatoires discrètes, loi de probabilité.
-exemples : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi hypergéométrique.
-évènements indépendants.
-probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales, formule de Bayes.
-vecteurs aléatoires, variables aléatoires indépendantes.
-lois de probabilité des vecteurs aléatoires discrets.
-couples de variables aléatoires : loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle.
-somme de deux variables aléatoires discrètes.
-fonctions génératrices, application à la somme de 2 va indépendantes.
-espérance et variance des va discrètes.
Exercices.
Réduction des endomorphismes.
-vecteurs propres, valeurs propres, sous-espaces propres.
-polynômes d'endomorphismes, polynôme caractéristique, polynôme minimal, matrice compagnon.
-théorème de décomposition des noyaux.
-triangulation, diagonalisation des endomorphismes, des matrices.
-sous-espaces stables, sous-espaces caractéristiques.
-triangulation et diagonalisation simultanées.
-décomposition de Dunford.
Exercices.
Quelques applications de la réduction des endomorphismes à l'analyse.
-suites récurrentes.
-parties denses de L(E).

14/11/07

Quelques applications de la réduction des endomorphismes à l'analyse (fin).
-exponentielle d'endomorphismes, de matrices.
Formes bilinéaires.
-définition, noyau, rang, forme non dégénérée, représentation matricielle, effet d'un changement de bases.
-orthogonalité, propriétés, cas des formes non dégénérées, vecteurs isotropes, sous-espaces isotropes.
-bases orthogonales, orthonormales.

21/11/07

Probabilités.
-Inégalité de Tchebytchev dans le cas discret.
-vecteurs aléatoires discrets, covariance, coefficient de corrélation.
-variables aléatoires à densité, espérance, variance.
-loi uniforme sur un intervalle, loi de Laplace Gauss, loi exponentielle, loi de Cauchy.
Exercices.

28/11/07

Formes quadratiques.
-définition, forme polaire associée, réduction de Gauss, réduction de Schmidt (rappel), classification sur C, sur R, inégalité de Cauchy Schwartz.
Espaces euclidiens.
-norme euclidienne, propriétés (médiane, Pythagore).
-endomorphisme adjoint, endomorphismes symétriques.
-orthogonalisation simultanée.
Exercices

05/12/07

Espaces euclidiens.
-groupe orthogonale, groupe spécial orthogonal
-classification et description des isométries vectorielles, en dimension 2, 3, et n
-angles orientés de vecteurs, de demi-droites, mesure, angle géométrique de droites, bissectrices
-similitudes vectorielles
-projection orthogonale, distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel
-produit mixte, produit vectoriel
Exercices

12/12/07

Espaces affines.
-définition, dimension
-sous-espaces affines, intersection de sous-espaces affines, sous-espaces affines parallèles, supplémentaires
-barycentres, propriétés, caractérisation d'un sous-espace affine engendré par une partie, coordonnées barycentriques.
-application affine, partie linéaire d'une application affine, caractérisation barycentrique, formes affines et hyperplans affines, isomorphismes affines, groupe affine, sous-groupe affine des isomorphismes affines fixant un point
-points fixes des applications affines
Exemples (symétries projections, affinités) et exercices

19/12/07

Espaces affines euclidiens.
-définition, orthogonalité
-isométries affines, propriétés, décomposition en produit de symétries orthogonales.
-déplacements, antidéplacements.
-décomposition canonique d'une isométrie affine.
-classification des isométries affines en dimension 1, 2 et 3.
-isométries laissant globalement invariante une figure : application aux polygones réguliers (groupe diédral), aux polyèdres réguliers.
-similitudes affines.
Exercices

09/01/08

Coniques et quadriques.
-introduction au plan projectif,points et droite de l'infini
-application à la classification des coniques et des quadriques
Probabilités.
-vecteurs aléatoires à densité
-couples aléatoires à densité : densités marginales
-couples de vecteurs indépendants, densités marginales dans ce cas, densité de la somme.

16/01/08

Probabilités.
-divers types de convergence (simple, presque sûre, en probabilité, en loi)
-loi faible des grands nombres
-loi forte des grands nombres
-théorème central limite
-approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, par la loi normale.
Exercices.

P. Vanhaecke

26/09/07

Définition d'espace vectoriels, sous-espaces ; espace produit ; sous-espace engendré par une partie somme de sous-espaces ; sous-espaces en somme directe, sous-espaces supplémentaires ; familles libres, génératrices, bases.
Exemples et exercices

03/10/07

Définition d'applications linéaires, endomorphismes, formes linéaires ; les espaces vectoriels L(E,F), L(E) et E* ; l'image et le noyau sont des sous-espaces, l'isomorphisme entre l'image et tout supplémentaire du noyau
L'algèbre L(E) et le groupe linéaire GL(E).
Espaces vectoriels de dimension finie, dimension infinie ; définition, théorème de la base incomplète, théorème de la dimension
Exemples et exercices

10/10/07

Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, formule du rang.
Dimension d'une somme de sous-espaces, existence de supplémentaires, caractérisation des automorphismes.
Matrices, définitions de base, structure d'espace vectoriel, produit de matrices, structure d'algèbre des matrices carrées. Matrice d'une application linéaire, changement de bases, matrices équivalentes, semblables. Trace d'une matrice, d'un endomorphisme.

JP. Vigué

12/09/07

Espaces compacts
- Définition par la propriété de Bolzano-Weierstrass.
- Les compacts sont fermés. Fermés dans un compact. Compacts de R.
Fonctions continues sur les compacts
- Image directe d'un compact par une application continue.
- Applications.
- Théorème de Heine.
Quelques exercices sur les compacts.

19/09/07

Fin des espaces compacts
- Produits finis d'espaces métriques compacts
Espaces vectoriels normés
  - Définition d'une norme, exemples, distance induite.
 - Applications linéaires continues. Norme d'une application linéaire continue.
  - Normes équivalentes. Un exemple de normes non équivalentes.
Exercices sur les espaces métriques compacts.

26/09/07

Fin des espaces vectoriels normés :
- Espaces vectoriels normés de dimension finie : toutes les normes sont équivalentes, théorème de Riesz
Espaces métriques complets :
- Définition, premières propriétés.
 - Relations entre espaces métriques complets et espaces métriques compacts
 - Points fixes d'applications contractantes.
 - Prolongement des applications uniformément continues.
Exercices sur les espaces vectoriels normés

03/10/07

Début des espaces de Banach :
- Définition et quelques exemples
- Espace de Banach des applications linéaires continues d'un espace vectoriel normé dans un espace de Banach
- Suites d'applications à valeurs dans un espace de Banach : convergence simple, uniforme
- Continuité, dérivabilité de la limite
Exercices sur les espaces vectoriels normés et les applications linéaires continues.

10/10/07

Fin des espaces de Banach :
- Séries d'applications à valeurs dans un espace de Banach ; convergence normale  
- Utilisation de la transformation d'Abel.  
- Définition de exp(f), où f est dans L(E,E).
Début des espaces métriques connexes :
- Définition, adhérence d'un connexe, union de connexes, composantes connexes.
- Connexes de R.
- Image directe d'un connexe, théorème des valeurs intermédiaires.
- Espaces connexes par arc.
Exercices sur les espaces de Banach

17/10/07

Fin des espaces connexes
- Équivalence de la connexité et de la connexité par arcs pour les ouverts d'un espace vectoriel normé.
- Exemple de raisonnement par connexité.
Début des séries entières
- Définition, rayon de convergence, calcul du rayon de convergence.
- Propriétés de la somme : continuité, dérivabilité dans le cas réel, puis dans le cas complexe.
Exercice sur les suites et séries de fonctions

24/10/07

Fin des séries entières :
- Somme et produit de séries entières.
- Application des séries entières à la résolution d'équations différentielles (sur un exemple).
- Exponentielle complexe. Propriétés, définition du nombre pi.
Exercices sur les espaces connexes et les séries entières